« Je cherche un critère pour déterminer la transcendance de certains nombres »

Je cherche un critère pour déterminer si certains nombres sont transcendants ! Pour être transcendant - au sens mathématique du terme - un nombre doit remplir une seule condition : n’annuler aucune équation polynomiale (composée de x2, x3, x4...) à coefficients entiers. On sait que de tels nombres existent depuis 1844. À la fin du 19e siècle, l’Allemand Cantor a montré qu’ils étaient même très nombreux : si vous piochez un nombre au hasard, il y a plus de chances qu’il soit transcendant qu’il ne le soit pas. On en connaît quelques-uns : π par exemple. Mais on ne sait pas encore déterminer de façon générale lesquels le sont. C’est très énervant pour les mathématiciens !

Je cherche un critère géométrique, qui fonctionnerait pour une certaine catégorie de nombres : les nombres p-adiques, que l’on rencontre souvent en géométrie algébrique. Je cherche à voir s’il est possible d’utiliser avec eux un théorème qui existe déjà pour d’autres types de nombres. Je ne travaille pas avec une équerre ni un compas, mais avec des équations qui représentent des courbes ! Plus que satisfaire la curiosité mathématique, savoir qu’un nombre est transcendant peut ouvrir la voie vers de nouvelles théories, résoudre d’autres problèmes. Par exemple, c’est grâce à la transcendance de f qu’on a pu montrer que pour n’importe quel cercle, il est impossible de construire un carré de même aire à la règle et au compas. C’est la quadrature du cercle, un problème vieux de plus de 4 000 ans ! »