Des maths pour améliorer les images satellite

Même loin du sol, les satellites délivrent des images nettes, aux couleurs proches de la réalité. Comment est-ce possible ? Grâce au traitement d’images réalisé par les mathématiciens. C’est le travail de Jacques Froment, chercheur au LMBA¹ à Vannes, et de sa doctorante Jamila Mifdal, qui a soutenu sa thèse² le 25 novembre.

Fusionner les photographies

« Certains satellites ont deux types de capteurs, explique Jacques Froment. Le premier est “multispectral” : il a une bonne résolution spatiale, mais un mauvais spectre de couleurs. C’est l’inverse pour l’autre type de capteurs. » Pour obtenir une image satellite, il faut fusionner les photographies prises par les deux capteurs, au même moment.

Pour cela, les mathématiciens utilisent une équation nommée “fonctionnelle d’énergie”. Prenons l’exemple d’une image capturée par un téléphone. Si vous réalisez une photo de loin en zoomant, ou que vous bougez, la photo sera de mauvaise qualité et ses pixels seront dégradés. L’enjeu est de « reconstruire les données manquantes. »

C’est ici que l’équation intervient. En prenant en compte l’image de départ, trop zoomée ou pixellisée, l’équation associe une valeur à une nouvelle image. Quand cette valeur est faible, l’image est proche de la réalité. Dans le cas de l’image satellite, l'équation fusionne les images prises par les deux  types de capteurs, pour aboutir à une image proche de la réalité. Est alors ajouté dans cette équation un terme dit “de régularisation” : il rend la solution unique. C’est ce terme que Jamila Mifdal et Jacques Froment ont affiné. L’image obtenue est ensuite comparée à une autre, prise par un avion à basse altitude, avec une meilleure résolution.

Un problème du 18e siècle

L’autre méthode appliquée par les scientifiques est dite “de transport optimal”. Elle s’inspire d’un problème formulé au 18e siècle par le mathématicien Gaspard Monge : comment optimiser le transport d’un tas de sable, d’un endroit à un autre ? Dans le cas des images satellite, les chercheurs calculent un point d’équilibre³ entre les deux images, en se servant d’une distance⁴ définie par le problème de transport optimal. Autrement dit, une image où chaque pixel est à l’équilibre entre sa résolution spectrale et sa résolution spatiale. L’intérêt ? « Les images modifiées par “transport optimal” sont naturelles, sans parasite ».

En s’appuyant sur les résultats de la thèse de Jamila Mifdal, ces méthodes pourraient s’appliquer à d’autres cas. « Une entreprise qui réalise des IRM vétérinaires nous a contactés », indique Jacques Froment. Quel est le lien avec les satellites ? Dans les deux cas, la prise de vue suit un mouvement. En effet, un animal ne reste jamais immobile pendant l’examen. « La méthode de transport optimal va intégrer naturellement l’aspect du mouvement dans le traitement de l’image », indique Jacques Froment. Les mathématiques sont décidément partout.